"험블 파이" 세상에서 수학이 사라진다면

 

매트 파커

MATT PARKER

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호주의 수학 교사였던 매트 파커는 현재, 몹시 예스러운 영국 마을인 고덜밍(GODALMING)에 살고 있다. 그의 집은 우주에서 온 물체 네 개와, 레트로 콘솔 게임 타이틀로 가득 차 있다. 런던 퀸메리 대학교의 공공연구센터 연구원으로 있으면서 때때로 수학을 주제로 스탠딩 공연을 다니는데, 인기가 많아서 매진 행렬이다.

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파커는 TV나 라디오에 출연해 수학에 관해 얘기하기를 즐긴다. 2009년부터 수학을 주제로 한 유튜브 채널 스탠드업 수학(STAND-UP MATHS)과, 미국 수리과학 연구소가 지원하는 유튜브 채널 넘버필(NUMBERPHILE)의 한 코너를 맡아 직접 만든 수학 동영상을 올리고 있는데, 누적 조회수가 1억 뷰를 넘겼다.

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그가 만든 마방진 ‘파커 스퀘어’는 자신의 이름을 딴 것이지만, 그것에 대해 별로(?) 말하고 싶어 하지 않는다. 지은 책으로 『차원이 다른 수학』이 있다.

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1장 시간 가는 줄 모른다

우리 주변이 모두 64bit 시스템뿐이라면 우리는 안전하다. 문제는 다음과 같다. 2038년가지 우리가 사용하는 모든 마이크로프로세서가 업그레이드될 수 있을까? 새 프로세서로 교환하거나 아니면 대단히 큰 숫자를 저장할 수 있도록 기존 프로세서를 업그레이드해야 한다. 내가 최근에 소프트웨어를 업그레이드한 제품을 살펴보면 전구, TV, 집 온도조절 장치, TV에 연결해 사용하는 미디어 플레이어 등이 있다. 모두 32bit 시스템이었던 것으로 안다. 이 모든 제품이 과연 제때 업그레이드 될까? 물론, 아마도 내가 유난스럽게 업데이트에 집작하는 것으로 보일 수 있다. 그러나 엡데이트되기 힘든 제품이 꽤 있다. 세탁기, 식시세척기, 자동차에도 프로세서는 들어있으며, 나는 이런 프로세서를 어떻게 업데이트해야 할지 방법을 모른다.

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2장 토목공학의 실수들

공진은 건물에도 영향을 미친다. 2011년 7월, 한국에 있는 39층 짜리 쇼핑센터에서 이용객들이 급히 대피하는 일이 벌어졌다. 공진이 빌딩을 진동시킨 것이다. 빌딩 꼭대기층에 있던 이용객들이 진동을 느끼기 시작했다. 마치 누군가가 베이스 앰프의 소리를 최대로 높인 것 같았다. 그런데 그게 사실이었다. 공식 조사에 따르면 지진의 가능성은 없었고, 진동의 범인은 12층 헬스클럽에서 행해진 집단 뜀뛰기 였다.

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수학과 공학의 지식은 느리지만, 꾸준히 수 세기 동안 쌓였고 이제 인류는 정말로 놀라운 구조물을 건설할 수 있다. 사고가 일어날 때마다. 건축 규제와 절차는 발전은 거듭하며 나아졌고 우리는 실수로부터 배울 수 있었다. 동시에, 수학 지식은 늘어났고 심지어 대단히 이론적인 소프트웨어까지 엔지니어의 손에 쥐어졌다. 유일한 허점이라면, 수학 지식과 경험이 누적되면서 우리가 직관적으로 이해할 수 있는 범위를 넘어선 구조물을 건설하기도 한다는 점이다.

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우리의 직관을 넘어서는 설계에는 분명 많은 장점이 있지만, 그 만큼 위험이 있다. 대다수의 시간 동안 사람들은 다리와 통로를 거닐며 행복을 느끼지만, 그것을 짓기 위해 얼만큼의 기술이 투입되었는지 알지 못한다. 뭔가 일이 벌어지고 나서야 주목하게 될 뿐이다.

3장 빅데이터와 리틀 데이터

펠린 허먼스 박사가 정리한 스프레드시트

- 스프레드시트 문서는 평균적으로 113.4KB 였다.

- 가장 용량이 큰 스프레드시트 문서는 41MB였다.

- 스프레드시트 문서당 평균적으로 5.1개의 워크시트가 있었다.

- 어떤 스프레드시트 문서에는 175개의 워크시트가 있었다.! 내 생각에도 너무 많고, SQL이 필요했을 것 같다.

- 스프레드시트 문서당 평균적으로 자료가 입력된 칸이 6191개 였고, 그중 1286개가 수식이었다.(따라서 20.8퍼센트 칸이 수식으로 사용돼 계산하거나 데이터를 옮긴다).

- 전체의 42.2퍼센트, 즉 6650건의 스프레드시트 문서에는 단 하나의 수식도 포함되어 있지 않았다. 이럴 거면, 왜 굳이 스프레드시트로 문서를 만들었을까?

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수십억 달러(수조원)의 돈을 잃은 이유가 어떤 두 값의 평균을 구하지 않고 서로 더했기 때문이었다. 스프레드시트는 외견상 엄격하고 철저한 계산을 할 것 같은 인상을 준다. 그러나 수면 아래 어떤 수식을 담고 있느냐에 따라 신뢰도가 달라진다.

데이터를 모아 처리하는 것은, 사람들의 예상보다 더 복잡하고 더 큰 노력이 필요한 일일 수 있다.

4장 찌그러진 모양

나는 문과 걸쇠, 그리고 자물쇠에 흥미를 느낀다. 재산을 보호하는 건 중요한 일이다. 그러나 많은 사람이 문과 걸쇠가 동작하는 원리에 대하여 깊이 생각하지 않는 것 같다. 튼튼한 자물쇠를 사지만, 정작 걸쇠를 고정하는 나사를 그대로 노출하는 사람들이 있다.

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일반적으로, 문은 긴급 상황을 대비해 열리는 방향이 결정된다. 경첨의 위치에 따라 문이 한쪽으로 열리게 된다. 밀거나 아니면 당겨야 한다. 방안으로 들어가기 편하거나, 아니면 반대로 방 밖으로 나가기 좋거나 둘 중 하나다.

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여러분은 이제 아마 내가 화재에 관한 얘기를 시작해 모든 사람이 재빨리 건물 밖으로 나가려는 상황을 말하리라 기대할 것이다.

만약 극장 문이 긴급 상황에서 활짝 열릴 수 있었다면, 사상자는 거의 없었을 것이다.

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톱니바퀴나 시계태엽 장치 등은 협력에 관하여 말할 때 상투적으로 널리 쓰인다. 그래서 직장이나 작업 현장마다 그런 포스터가 자주 보이는 것이다. 그러나 설명을 좀 하자면, 태엽 장치의 메커니즘은 무척 복잡하다. 태엽 장치는 조립이 어렵다. 부품 하나만 잘못 끼워도 전체가 동작을 멈춘다. 내가 태엽 장치를 들여다보면 들여다볼수록, 이건 도저히 팀워크를 상징하는 표현으로 쓸 수 없겠다는 확신이 든다.

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5장 셀 수 없는 나날들

손가락으로 숫자를 세어보자. 가장 손쉬운 방법이니까. 내 말대로 따라 하다 보면 어딘가 헷갈릴 것이다. 손가락으로 얼마까지 셀수 있냐고 물어보면, 대부분 열이라고 답한다. 그러나 그렇지 않다. 손가락으로는 열하나까지 셀 수 있다. 어떻게? 0부터 10까지 열하나 맞다. 예를 들어, 손가락을 하나도 꼽지 않은 상태가 1이라고 하면, 손가락을 하나 꼽으면 2이다. 또 손가락을 이어 꼽으면 3이 된다. 그런 식으로 가면 11까지 셀 수 있다.

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만약 8일에 운동했으면, 그날은 세면 안 되지. 9일이 첫째 날이고 10일이 둘째 날이야. 그런 식으로 가면 22일이 열넷째 날이지.

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음료메뉴: 청량음료 43종류, 밀크셰이크 4종류, 아니면 음료 마시지 않음

- 총 9가지 경우의 수

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식사메뉴: 치즈버거, 휠레오피쉬, 핫도그. 식사 메뉴를 고르지 않는 것도 하나의 옵션이며, 이 중에 하나를 먹으면 3가지 수가 나오고, 정말 배가 고파서 이 중에 두 개를 먹으면(같은 걸 두 번 먹는 것도 포함) 6가지 경우의 수가 나온다

- (1 + 3 + 6) = 총 10가지 경우의 수

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감자튀김을 먹겠는가?: 네, 아니요 - 2가지 경우의 수

디저트메뉴: 애플파이, 세 가지 맛의 맥플러리, 밀크셰이크 4종류. 음료 메뉴에서 밀크셰이크를 골랐더라도, 디저트로 또 밀크셰이크를 먹는다고 해서 뭐라 하지 않겠다. 디저트를 먹지 않는 것도 1가지 경우의 수로 포함했다 - 1+3+4=9

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그러므로 총 경우의 수는, 9×10×2×9 = 1620 가지 이다.

6장 데이터를 처리할 수 없습니다

컴퓨터는 앞 장에서 설명한 시스템 시간 카운트다운과 같은 이유로 255라는 답을 얻는다. 즉, 메모리가 제한되어 있기 때문이다. 공격성 값은 8자리 2진수에 저장된다. 00000001에서 1을 배면 00000000이 되고, 여기서 다시 1을 빼면 11111111이 된다. 이는 십진법으로 계산하면 255이다. 컴퓨터에 저장된 수는 양수 내에서 순환하므로 음수가 되지 않고 최댓값이 된다. 이를 일컬어 롤오버 roll-over 오류라고 하며, 이 오류는 아지 흥미진진한 방식으로 컴퓨터 코드를 파괴한다.

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탐지기가 0으로 리셋되어 기차가 지나가지 않았다고 오판할 수 있는 위험을 피하고자 모든 열차는 차축의 개수가 256개가 되어서는 안된다.

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롤오버 오류를 잡는 방법이 있다. 프로그래머 판단에 롤오버 오류가 발생할 것 같으면, 값이 255를 넘지 않도록 제한을 걸 수 있다.

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벽돌 별 솔루션

왓츠앱에서 여러분과 여러부의 동료 255명, 즉 총 256명이 한 방에 있는 상태에서 새로 257번째 사람을 초대하려고 하면, 초대가 안 될 것이다. 여러분은 어쩌면 가장 가까운 255명과 함께 있다고 위안으로 삼겠지만, 나머지 255명도 과연 그렇게 생각할까? 아마 그렇게 결속이 단단하지 않을 수 있다. 그 밖에도 롤오버 오류의 위험 때문에 게임 [마인크래프트]에서는 쌓을 수 있는 블록의 최대 높이를 256개로 제한한다.

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5-4-1은 무엇일까? 난센스 퀴즈가 아니다. 정답은 0이다. 그러나 보이는 것만큼 그렇게 간단치가 않다. 엑셀에 5-4-1을 입력하면 오답을 줄 수 있다. 컴퓨터가 숫자를 메모리에 2진수로 저장하면 롤오버 오류만 발생하는 게 아니다. 굉장히 쉬워 보이는 수학계산을 틀릴 때도 있다.

5-4-1을 0.5-0.4-0.1로 살짝 바꾸면 정답은 여전히 0이지만, 내가 사용하고 있는 엑셀 버전에서는 답으로 -2.77556E-17을 준다. 이는 정확히 0은 아니지만 0에 상당히 가깝긴 하다.

7장 틀렸을 것 같은데

때로는 시도를 반복한다고 해도 꼭 결과가 그렇게 보장된 건 아니다. 내가 가장 인상 깊게 봤던 사진은 도나라는 한 여성이 어렸을 때 디즈니 월드에서 1980년도에 찍은 사진이다. 여러 해가 흘러 그녀는 남편 알렉스와 결혼하려던 참이었고, 둘은 함께 옛날 가족사진을 보고 있었다. 도나가 디즈니 월드에서 찍은 사진을 보여주자 알렉스는 배경에 유모차를 밀고 있는 남자가 자신의 아버지와 닮았다고 생각했다. 그런데 알고 보니 실제로 그의 아버지였다. 그리고 유모차에 타고 있던 아이가 바로 자기 자신이었다. 도나와 알렉스는 우연히 15년 전에 사진을 함께 찍었고 그 후에 다시 만나 결혼에 이른 것이다.

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알렉스와 도나가 어린 시절 우연히 함께 찍힌 사진. 맨 오른쪽 소녀가 도나, 인형탈 뒤편의 남성이 끄는 유모차에 앉아 있는 소년이 알렉스다. /사진=thestar.com © News1

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운명이 아니라 통계다. 동전을 튕겼더니 모서리로 선 것과 같은 확률일 뿐이다. 실제로 발생할 가능성은 매우 작지만, 꿋꿋하게 계속 시도한다면 실제로 실현할 수 있으리라 기대할 수 있는 것이다.

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복권에 당첨될 확률을 높이려면 어떻게 해야 할까? 복권을 더 사는 것 외에는 방법이 없다. 좀 더 구체적으로 말하면, 서로 다른 번호의 복권을 더 사야 한다. 똑같은 번호의 복권은 아무리 많이 산다 해도 당첨될 확률이 높아지지 않는다. 여러장의 같은 번호로는 더 많은 돈을 딸 수는 있어도 당첨 확률 자체를 높일 수는 없다.

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8장 실수는 돈이다

컴퓨터 코드로 큰 문제를 일으킬 수 있는 곳은 금융 분야만이 아니다. 어디서든 재앙이 일어날 수 있다. 알고리즘은 매매를 시작할 때 각종 설정의 제약을 받는다. 흔히들 그러지 않는가. 복잡하게 얽히고설킨 알고리즘이 서로 거래하며 시장을 안정화한다고. 그러나 알고리즘이 부적절한 악순환에 빠지면서 재난을 일으키기도 한다. 바로 '갑작스러운 폭락 flash crash'이다.

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얼마나 충격적인 20분인가. 총 560억 달러(약 67조 원)에 해당하는 20억 주가 거래되었다.

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스톡옵션이란 누군가가 미래의 주식을 미리 합의한 '계약' 가격으로 살 수 있는 권리이다.

스톡옵션의 가치를 계산하는 법이 그리 간단치 않기 때문에, 상대적으로 최근인 1973년에야 블랙-숄즈 모형이 개발되었다.

스톡옵션을 지급하는 데 '고정 관념'을 갖고 있었다. 즉 주식의 가치가 올라 CEO에게 줄 스톡옵션의 양을 줄여댜 할 때도, 그들이 제공하는 양은 놀라울 정도로 고정되어 있었다. 일단 수학을 사용하도록 강제하자 '고정 관념'은 마침내 사라져 스톡옵션의 양은 주식의 가격에 맞춰 조정되었다. 그때부터 CEO의 연봉 팽창이 멈췄다. 그러나 일단 시장 가격이 형성되면, 시장 원리는 가격을 낮추지 않느다. 오늘날 CEO에게 제공되는 상당한 양의 연봉은, 기업 이사진이 수학을 잘 다루지 못하던 시절의 유산이다.

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9장 적절한 값으로 다듬다

0.5의 반올림

트럼프 행정부는 꽤 훌륭한 이유로 3.49배를 선택했다. 3.5배 더 받을 수 있도록 주장했으면, 보험사에 더 큰 금액을 받게끔 할 수 있었으나, 0.5를 반올림 해야 하는지 버림을 해야 하는지 모호한 면이 있었다. 그러나 3.49는 반올림 할 때 확실히 버림을 한다.

0.5에서 10까지 전부 더하면 105이다. 보통의 반올림을 한 경우 그 값을 전부 더하면 110이지만, 짝수로 반올림한 경우에는 총합이 105이다. 그러나 짝수로 반올림한 경우에는 모든 숫자의 4분의 3이 짝수이다.

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중요한 유효숫자

2017년 2월 BBC는 영국 통계청의 보고서를 발표했다. 2016년의 지난 3개월 동안, '영국의 실업자 수는 7000명이 떨어져 160만 명이 되었다'는 것이다. 그러나 7000이라는 숫자는 160만이라는 수가 반올림된 자리보다 낮다. 수학자 매튜 스크록스는 재빨리 다음과 같이 지적햇다. BBC의 보도는 실업자 수가 160만 명에서 160만 명으로 감소했다는 말과 똑같다는 것이다.

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9.49장 너무 작아서 보이지 않는

반올림하면서 사라진 소수점 이하의 값이나, 평균치를 계산한뒤 들여다보지 않게 되는 데이터 각각의 값같이 아주 사소해 보이는 것들이 실제로 굉장히 중요할 때가 있다. 현대 기술의 정밀도는 점점 높아지기 때문에 우리가 다루고 이용하는 기계들은 인간의 눈과 촉각으로 분별할 수 없는 수준의 허용오차를 요구한다.

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인간이 계속해서 스스로 인지할 수 있는 오차의 범위를 넘어선 것을 제작한다면, 우리는 그러한 것을 사용하고 유지보수 하기 위해 적절한 시스템을 갖춰야 한다. 즉, 좀 더 쉽게 표현하자면, 너무 비슷하게 생긴 볼트를 구분하기 위해, 우리는 볼트마다 제품 번호를 기재해야 할 필요가 있다.

10장 단위, 표기법, 왜 바꿀 수 없을까

단위를 오해하면, 숫자의 의미를 크게 착각할 수 있다. 이런 종류의 실수 사례는 흔하디흔하다.

통화, 화씨와 섭씨, 무게 등

11장 원하는 대로 통계를 내다

인구조사는 다소 극단적인 면이 있다. 어떤 기관이 인구에 관해 알고 싶을 때는 보통의 경우 표본을 추출하며, 표본이 전체를 대표한다고 가정한다. 그러나 정부는 그렇게 하는 것 대신에 말 그대로 전체 인구를 조사할 수 있다. 전체를 조사하면 압도적인 양의 데이터가 쌓인다. 역설적이게도 그렇게 쌓인 데이터는 다시 대표적인 통계치로 요약한다.

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신체 치수 자료를 활용하여 디자인할 때, '평균적인 사람'이라는 사고방식은 위험하다. 여러 사람이 그렇게 실수한다. 실제로, 미공군 가운데 '평균적인 사람'을 찾는 건 불가능하다. 저마다 독특한 개성을 갖고 있다는 말이 아니라, 모든 사람의 신체 치수가 대단히 다양하다는 뜻이다.

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수학의 도구로서 상관관계는 강력한 무기이다. 데이터를 모아 한 변수의 변화와 다른 변수의 변화 사이에 있는 관계를 훌륭히 측정한다. 그러나 이는 도구일 뿐, 답이 아니다. 수학적 활동의 다수가 정확한 답을 찾는 것이지만, 통계학에서 계산 결과는 이야기의 전부가 아니다. 앞서 살펴본 데이터사우루스에서도 모두 똑같은 상관관계 값을 가졌지만, 각각의 데이터는 분명히 달랐다. 통계학에서 계산한 숫자는 답을 찾는 일의 시작이지 끝이 아니다. 통계학의 수치에서 실제 답을 얻어내려면 약간의 상식과 통찰력이 필요하다.

12장 전완한 덤랜

의사 난수를 만드는 알고리즘은 끊임없이 발전한다. 의사 난수는 3가지 조건, 즉 효율적이어야 하고 사용하기 쉬워야 하며 안전해야 한다는 요구 사이에서 균형을 잡아야 한다. 난수는 디지털보안의 핵심이므로, 의사 난수 알고리즘은 때에 따라 엄격하게 관리된다. 마이크로소프트는 엑셀이 의사 난수를 어떻게 생성하는지 절대 공개하지 않는다. 그러나 의사 난수 알고리즘의 상당수가 대중에게 공개되어 있어 우리는 그 면면을 살펴 볼 수 있다.

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난수(Random Number)는 임의의 수, 예측 불가능 한 수다. 게임 어플리케이션이 하나의 가상 시뮬레이션이기 때문에 난수는 정말 무궁무진하게 많이 활용된다. 그런데 왜 의사(擬似)일까? 의사의 뜻은 수도 코드(Pseudo-Code, p가 묵음) 에서 가지고 왔다. Pseudo는 허위의, 가짜의, 모조의 등을 뜻하는 형용사다. 즉, 의사 난수라는 뜻은 가짜 난수라는 뜻이다.

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랜덤을 두루뭉실하게 정의하는 방법이 하나 있다. 이 정의는 이해 할 수 있는 사람이 많지 않지만, 간단하게 표현할 수 있어서 특별히 좋아한다. 즉 정의하자면, 랜덤한 수열이란 랜덤한 수열의 묘사보다 더 짧거나 같은 수열이다.

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13장 데이터를 처리할 수 없습니다

의료 분야에서는 전반적으로 뛰어난 사람은 실수하지 않는다는 인식이 있다. 본능적으로 생각하면, 오작동 54 메시지를 무시하고 그대로 장비를 운용한 방사선사에게 환자 사망의 책임이 있다고 할 수 있다.

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실수한 사람들은 정직되거나 보직 변경되는데, 그렇게 되면 '실수하지 않은 사람들'만 남아 오류 관리에 대한 경험을 잃게 된다.

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그래서 우리는 실수로부터 무엇을 배웠는가

우리 모두 실수를 한다. 끊임없이. 그러나 두려워할 것 없다. 나와 대화했던 많은 사람이 학창 시절 수학에 흥미를 느끼지 못했다. 이해할 수가 없었기 때문이다. 수학을 배우는 데 필요한 노력의 절반은 우리가 천성적으로 수학에 서투를 수 있다는 걸 받아들이는 것이다. 꾸준히 노력하면 실력이 나아질 수 있다. 내가 알기로는 학교 선생님들이 내 말을 인용해 포스터로 만들어 교실에 걸어둔 유일한 구절은 '수학자는 수학이 쉽다고 생각하는 사람들이 아니라, 수학의 어려움을 즐길 수 있는 사람들이다.'라는 말이다.

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현대 사회는 수학에 의존하고 있다. 사고가 벌어질 때마다 뜨거운 치즈를 잘 눈여겨봐야 한다는 사실을 되새기지만, 한편으론 굳건히 제 역할을 다하는 수학을 발견하기도 한다.